LAS MATEMÁTICAS EN EL SIGLO XVII

LAS MATEMÁTICAS EN EL SIGLO XVII

LOS LOGARITMOS

Para representar la operación de logaritmo en una determinada base se escribe la abreviatura log y como subíndice la base y después el número resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Por ejemplo, 35=243 luego log3243=5. Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir.

Los logaritmos fueron introducidos por John Napier a principios del siglo XVII como un medio de simplificación de los cálculos. Estos fueron prontamente adoptados por científicos, ingenieros, banqueros y otros para realizar operaciones fácil y rápidamente, usando reglas de cálculo y tablas de logaritmos.

Estos dispositivos se basan en el hecho más importante — por identidades logarítmicas — que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores: log_b(xy) = log_b (x) + log_b (y).

GEOMETRÍA ANALÍTICA

En el siglo XVII con la geometría analítica nace la matemática moderna, en el siglo de Descartes, Galileo, Newton, Leibniz y Fermat. El álgebra y la trigonometría adquieren cierta madurez, condiciones particularmente favorables para la ciencia matemática obtenga una fecundidad maravillosa.
Los resultados de tales condiciones favorables pronto se harán sentir, y en siglo XVII verá en primer lugar una admirable nueva rama de la matemática: la geometría analítica, que produce en esa ciencia verdadera revolución (fue comparada con la revolución industrial).

Mas tarde se vera surgir el análisis infinitesimal en su doble aspecto: como algoritmo del infinito, y como instrumento indispensable para el estudio de los fenómenos naturales. 
En el siglo XVII asiste al nacimiento de la teoría de los números, del calculo de la probabilidad y de la geometría proyectiva.
El advenimiento de la geometría analítica esta vinculado con el gran filósofo Rene Descartes (1596-1650).

La geometría analítica se conoce también con le nombre de geometría cartesiana. 
En 1637, en Leyden, Descartes publico el discurso DEL MÉTODO obra celebre formada por tres ensayos: La Dióptrica, Los Meteoros y la Geometría.

LA TEORÍA DE LOS NÚMEROS 

1. Los europeos dominaron el desarrollo de las matemáticas después del renacimiento. 
2. Durante el siglo XVII tuvieron lugar los más importantes avances en las matemáticas desde la era de Arquímedes y Apolonio. El siglo comenzó con el descubrimiento de los logaritmos por el matemático escocés John Napier (Neper); su gran utilidad llevó al astrónomo francés Pierre Simón Laplace a decir, dos siglos más tarde, que Neper, al reducir el trabajo de los astrónomos a la mitad, les había duplicado la vida.
3. La ciencia de la teoría de números, que había permanecido aletargada desde la época medieval, es un buen ejemplo de los avances conseguidos en el siglo XVII basándose en los estudios de la antigüedad clásica. La obra Las aritméticas de Diofante ayudó a Fermat a realizar importantes descubrimientos en la teoría de números.
4. Su conjetura más destacada en este campo fue que no existen soluciones de la ecuación an + bn = cn con a, b y c enteros positivos si n es mayor que 2. Esta conjetura, conocida como último teorema de Fermat, ha generado gran cantidad de trabajos en el álgebra y la teoría de números.”

GEOMETRIA

1. Una de las principales características de la matemática es la articulación del álgebra y la geometría. Los dos grandes avances de este siglo, la geometría analítica y el cálculo infinitesimal, adquieren su excepcional potencial al establecer conexiones entre fórmulas y figuras, entre cálculos algebraicos simbólicos y operaciones geométricas y construcciones.
2. contexto, en términos de conocimiento matemático y de las intenciones con que se trabajaba, más que en términos de lo que sucedería posteriormente." Dentro de esta línea de investigación se enmarcan estas reflexiones sobre el proceso de algebrización de las matemáticas en el siglo XVII, incorporando algunos elementos nuevos a la luz de nuestro trabajo sobre la figura y obra del matemático boloñés, Pietro Mengoli (1625-1686), discípulo de Bonaventura Cavalieri (1598-1647).
3. Esta investigación forma parte de mi tesis doctoral y se ha realizado con copias microfilmadas de las obras de Mengoli de la Bodleian Library de Oxford y fuentes primarias y secundarias de otros autores de la Biblioteca del Centre d'Estudis d'Història de les Ciències de la Universitat Autònoma de Barcelona y otras bibliotecas.

1. TEORÍA DE LAS ECUACIONES
2. Es a partir de la Segunda mitad del siglo VXII y siguientes donde surge el desarrollo de esta importante disciplina de las ciencias exactas, y definimos el termino ecuación como una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que solo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incógnitas, las cuales se representan por las últimas letras del alfabeto x, y, z x u v.
3. Destacándose para la época los matemáticos mas importantes y sobresalientes como Isaac Newton, Galilei Galileo, Sócrates Descartes y otros más.
4. Por esto en este contenido del presente trabajo sobre las ecuaciones vamos a ver el término ecuación sus diferentes definiciones, clasificación, su importancia y su aplicación en la vida diaria.

Documento tomado de: https://es.slideshare.net/AldairHerreraFerreira/las-matematicas-en-el-siglo-xvii

GALILEO GALILEI

GALILEO GALILEI

Galileo Galilei fue un astrónomo, matemático, físico y filósofo que propició la revolución científica que tuvo lugar durante el Renacimiento. Sus descubrimientos han hecho que sea considerado el padre de la ciencia, así como el padre de la astronomía y la física modernas. Trabajó apoyando las teorías de Copérnico para establecer el método científico, y luchó firmemente contra las teorías aristotélicas y contra la Iglesia Católica.

Galileo realizo notables aportaciones científicas en el campo de la física. Demostró la falsedad del postulado aristotélico que afirmaba que la aceleración de la caída de los cuerpos-en caída libre- era proporcional a su peso, y conjeturo que, en el vacío, todos los cuerpos caerían con igual velocidad. Para ello hizo deslizar esferas cuesta abajo por la superficie lisa de planos inclinados con distinto ángulo de inclinación.
Entre otros hallazgos notables figuran las leyes del movimiento pendular y las leyes del movimiento acelerado.
Descubrió las leyes de las caídas de los cuerpos y de la trayectoria parabólica de los proyectiles, estudio el movimiento del péndulo e investigo la mecánica y la resistencia de los materiales. Estableció lo que hoy se llama el Método Experimental.
Galileo pensó en el plano inclinado con el propósito de redactar la caída de un cuerpo y poder medir el tiempo. En caída libre la relación rapidez-tiempo es proporcional.
Galileo sentó las bases de la Ciencia moderna, porque propuso un método sistemático basado en la verificación experimental de las hipótesis o explicaciones sobre los fenómenos naturales.

Todos los cuerpos debían caer con la misma rapidez en ausencia de aire o cualquier otro agente externo que se oponga a su caída, esta fue la hipótesis de Galileo. El objetivo de Galileo era describir detalladamente el movimiento de los cuerpos en caída libre. El movimiento en planos inclinados es similar al de caída libre.

Perfeccionó también el telescopio y le permitió realizar diferentes descubrimientos. Demostró que la superficie de la Luna no era cristalina, sino que estaba cubierta de cráteres y montañas; descubrió las manchas solares, con lo que pudo determinar el periodo de rotación del Sol y la dirección de su eje. Descubrió los cuatro satélites mayores de Júpiter y demostró que no todos los astros giraban alrededor de la Tierra.

El método se basaba en 4 pautas a seguir:

1.- Observación:
Hay que partir inevitablemente de la precisión en la consideración del objeto de la investigación, lo que únicamente es posible por la determinación de datos de observación minuciosamente delimitados y con referencia a un problema que resolver. Generalmente el problema que se plantea hace referencia a una teoría explicativa frente a la cual los datos observados no pueden ser explicados por ella, bien por un cambio de concepto en el fundamento o por simple ampliación de observaciones.

2.- Elaboración de una hipótesis explicativa:
A partir de este momento la explicación de este nuevo modo de concebir el fenómeno requiere una explicación nueva, lo cual se hace como hipótesis o teoría provisional a la espera de una confirmación experimental.

3.- Deducción:
Sobre esta hipótesis o teoría se hace necesario extraer las consecuencias que se derivan del hecho de tenerla por verdadera. Fundamentalmente dichas consecuencias deductivas deben ser de tipo matemático pues, como dice Galileo, la naturaleza está escrita en lenguaje matemático

4.- Experimento o verificación
Se montan las condiciones en las que se puedan medir las consecuencias deducidas, procurando unas condiciones ideales para que las interferencias con otros factores sean mínimos (rozamientos, vientos etc.), y comprobar si efectivamente en todos los casos, siempre se reproducen dichas consecuencias.

PELICULA DE GALILEO GALILEI

LA MATEMÁTICA ISLÁMICA

LA MATEMÁTICA ISLÁMICA

ANTECEDENTES HISTÓRICOS

Por la época en que Brahmagupta escribía sus tratados matemáticos ya se había derrumbado el imperio Sabeo de la Arabia Felix, y la península arábiga se encontraba sumida en una profunda crisis. Arabia estaba habitada entonces en su mayor parte por nómadas del desiertos, conocidos con el nombre de beduinos, que no sabían leer ni escribir, y en este marco sociopolítico surgió el profeta Mahoma, nacido en la Meca en el año 570 d.c. Mahoma fué el fundador del Islam, religión que se extendió en poco tiempo por toda Arabia y que tiene como dogmas la creencia en un Dios único y en una vida futura, en la resurrección y en el juicio final. 
La primera parte de su vida, fué la de un ciudadano medio que vive en una ciudad de 25.000 habitantes. A los 40 años empezó a predicar, primero en un pequeño grupo de fieles, después a la población en general, sentando así las bases de la religión islámica. 
En el año 622 d.C, su vida se vió amenazada por un complot, lo que le obligó a trasladarse a Yatrib, más tarde denominada Medina. Esta “huida”, conocida como la Hégira, señala el comienzo de la Era Mahometana, que iba a ejercer durante siglos una poderosa influencia en el desasrrollo de las matemáticas. 
La unidad de la civilización islámica se basaba mucho en la religión de Mahoma y en las actividades económicas que en una hegemonía política real. No obstante, esta debilidad política no impidió a los arabes dominar grandes territorios durante siglos y tomar el relevo en la Escuela de Alejandría, mientras que el Occidente atravesaba siglos oscuros y poco propicios a la evolución de las matemáticas. 

PRINCIPALES MATEMÁTICOS ÁRABES

Muhammad ibn Musa al-Khawarizmi 

Este matemático, escribió mas de media docena de obras astronómicas y matemáticas. Además de tablas astronómicas y tratados sobre el astrolabio y el reloj de sol, escribió dos libros sobre aritmética y álgebra que jugaron un papel muy importante en la historia de las matemáticas. En su obra aritmética, cuyo título en latín es De numero Indorum (el original árabe no ha llegado hasta nosotros), al-Khawarizmi presenta diversas reglas para el cálculo numérico, basadas en los algoritmos indios además de exponer detalladamente el sistema de numeración utilizado por los indios. En Europa, a finales de la Edad Media, atribuyeron al autor árabe la paternidad de la numeración utilizada. Y así el nuevo sistema de notación vino a ser conocido como “el de al-Khawarizmi” y , a través de deformaciones del nombre en la traducción y en la trasmisión, simplemente como “algorismi”.

La obra principal de al-Khawarizmi es Hisab al-<abr wa’l muqqabala, que significa “ciencia de la trasposición y la reducción”, donde el término “la-yabr” se convirtio en “álgebra”, sinónimo de la ciencia de las ecuaciones. A veces se le llama a Diofanto el padre del álgebra, pero ese título se le aplicaría a alKhwarizmi. A los árabes en general les gusta extraordinariamente poder seguir una argumentación lógica correcta y clara de las premisas a la conclusión, así como una organización sistemática, aspectos ambos en los que ni Diofanto ni los hindues brillaban precisamente. Los

hindues tenían muy desarrollada una capacidad de asociación y analogía, de intuición y de instinto estético unidos a una imaginación natural, mientras que los árabes tenían una mentalidad más práctica y más a ras de tierra en su enfoque de la matemática. 

Al-yabr

El al-yabr nos ha llegado en dos versiones, la árabe y una traducción latina, pero en la traducción latina, que lleva por título Liber algebrae et almucabola, falta una parte considerable del manuscrito original árabe. Por ejemplo, la versión latina no tiene prólogo, probablemente por una razón elemental de precaución por parte del traductor, ya que en su prólogo en árabe el autor formula las alabanzas usuales al profeta Mahoma y a Al-Mamun. 

La palabra al-yabr significa probablemente algo así como “restauración” o “completación”, y parece querer referirse a la transposición de términos que están restados al otro miembro de la ecuación, sumándolos. 

LA TRIGONOMETRÍA ÁRABE

De la misma manera que se dio una competencia entre los sistemas de numeración de origen griego e hindú, también en los cálculos astronómicos hubo en Arabia al principio dos tipos de trigonometría; una la geometría de las cuerdas griegas, tal como se encuentra en Almagesto, y la otra basada en las tablas de senos hindúes, tales como las que aparecen en el Sindhind. 

Y también en este caso, el conflicto se resolvió con el triunfo de la postura hindú, por lo que en última instancia la mayor parte de la trigonometría árabe se construyó basada en la función seno. De hecho, además, fue a traves de los árabes y no directamente de los hindúes como pasó a Europa la trigonometría del seno. 

SISTEMA DE NUMERACIÓN ISLÁMICO 

LA MATEMÁTICA EN LA EDAD MEDIA

LA MATEMÁTICA EN LA EDAD MEDIA

LA MATEMÁTICA MEDIEVAL

Entre los siglos XII y XV se desarrolló cierto nivel de vida matemática. Nuestra primera referencia es Leonardo de Pisa (c. 1 170 - 1 250), más conocido como Fibonacci, quien escribió en el año 1 202 el famoso Liber Abaci (Libro del ábaco). En este libro introdujo los métodos de cálculo hindú con enteros y fracciones, las raíces cuadradas y cúbicas. Tanto en este libro como en el que publicó en 1 225, Liber Quadratorum, estudió el álgebra, aunque usando palabras más que símbolos y basando sus resultados en métodos aritméticos. Ofreció soluciones de ecuaciones determinadas e indeterminadas tanto para ecuaciones de primer y segundo grado como para algunas cúbicas.

En su Practica Geometriae, 1 220, introduce resultados de los Elementos de Euclides y un poco de trigonometría griega. Leonardo se dio cuenta de que en el Libro X no se introducían en la clasificación de irracionales todos ellos, y que las raíces de algunas ecuaciones de tercer grado no podían ser construidas por el método de la regla y el compás.

Otra referencia importante, esta vez en las matemáticas, es Oresme (c. 1 323 - 1 382). En Algoritmus Proportionum (c. 1 360) introdujo cómputos con exponentes fraccionarios. En otros trabajos, De Uniformitate et Difformitate Intensionum y Tractatus de Latitudinibus Formarum, Oresme consideró la razón de cambio, y estableció una forma de representación que se ha llegado a afirmar como precursora de la representación en coordenadas. Ya volveremos a esto. De hecho, también, se le atribuye una contribución al concepto de función y a la representación gráfica de leyes físicas.

Brunschvicg así lo apunta:

"Le Tractatus de Latitudinibus Formarum (cuya influencia fue grande y duradera hasta tal punto que, desde el descubrimiento de la imprenta, cuatro ediciones se sucedieron de 1 442 a 1 515), enseña a representar las variaciones de cualquier magnitud que sea, transportando sobre una superficie plana las líneas de señal que habían sido hasta el momento trazadas sobre una esfera. Los grados del fenómeno natural se describen por la ordenada; y constituyen así lo que Oresme llama latitud de la forma; la longitud, es decir la línea de las abscisas, describe los tiempos correspondientes''. [Brunschvicg, Leon: Les etapes de la philosophie mathematique, p. 103.]

Muchos historiadores opinan que la Europa medieval, a pesar de algunas actividades y tendencias culturales o cognoscitivas, difícilmente podría haber realizado por sí misma un progreso sustancial en las ciencias y las matemáticas. Contra eso conspiraban la ausencia de pensamiento libre, el control dogmático de las principales escuelas de formación (que impedía a los profesores e intelectuales la posibilidad de una enseñanza y un pensamiento crítico y científico), la represión institucional de carácter religioso cuyo signo más evidente fue la Inquisición, iniciada por el Papa Inocente III en el siglo XIII. 

LA EDAD MEDIA

• Es un período histórico ubicado entre la edad antigua y la edad moderna, cuyo inicio y fin coincide con la caída de cada una de las dos partes en que se había dividido el extenso Imperio Romano

• Se inicia con las invasiones bárbaras y finaliza cuando los ideales que caracterizan al medioevo comienzan a desaparecer para dar paso a los del Renacimiento.

• Fue una época con un concepto teocéntrico del mundo, debido a la gran influencia del cristianismo. La iglesia poseía gran poder ya que decidía sobre los aspectos de educación y política.

CARACTERÍSTICAS DE LA ÉPOCA MEDIEVAL 

• Político: Al principio se formaron reinos bárbaros absolutistas, seguido del imperio franco de los Carolingios; y la presencia de un sistema político-socio-económico: El Feudalismo, que luego desaparece para dar inicio al absolutismo, sistema propio de la Edad Moderna.

• Económico: La preponderancia de la agricultura. Luego, con las Cruzadas, surge de nuevo el contacto con Oriente y, con ello, la economía urbana, el comercio, después la industria, que serán los pilares del capitalismo de la Edad Moderna.

• Social: La mezcla de la población que formaba parte del Imperio Romano de Occidente con los pueblos invasores: germanos, hunos, árabes, eslavos y normandos.

• Religioso: La Preponderancia del Cristianismo.

• Cultural: La existencia de un bajo indice de cultura popular y el surgimiento de los estilos arquitectónicos Románico y Gótico.

LA MATEMÁTICA

El ambiente del medioevo era contrario al desarrollo de las matemáticas, sin embargo, a pesar de todos los obstáculos no sucumbió, esperó las condiciones propicias para resurgir tomando nuevo ímpetu.

MATEMÁTICAS EN EL OCCIDENTE DE EUROPA

Mientras que el imperio Bizantino conservaba su unidad cultural, en el occidente de Europa pasaba todo lo contrario. El último emperador romano Romulo Augusto, fue derrotado por los ejércitos Ostrogodos de Odoacro y posteriormente por los de Teodorico. Mucha de la identidad Romana se mezcla con las nuevas costumbres y lengua de los pueblos bárbaros invasores. Las guerras y la lucha de poderes en lo que otrora fuera el más grande imperio del mediterráneo, no dejó tiempo para el cultivo de las ciencias, en especial de las matemáticas.

Por esta razón, las matemáticas al principio de la edad media no diferían mucho de las matemáticas practicadas en Bizancio. Básicamente fue copia de los clásicos griegos como la obra de Nicómaco de Gerasa, enfatizándose en la Aritmética y usada en el estudio del Cuadrivium. En este punto, hubo más un avance en la enseñanza de las matemáticas que en la matemática misma.

CONCLUSIONES

• En la epoca medieval las disciplinas que se cultivaron principalmente fueron fundamentalmente la retórica, la jurisprudencia y la teología, sin dejar atras las matematicas.

• La base del resurgimiento de las matemáticas no se encontró en los conocimientos generados durante el medioevo histórico, sino más bien en retomar y difundir los conocimientos clásicos de los griegos acompañados por un cambio de actitud, la liberación del yugo ejercido por la Iglesia.

• En el período histórico que desde el punto de vista eurocéntrico se denomina Edad Media, fueron principalmente eruditos provenientes de la región árabe y persa quienes aportaron nuevos conocimientos y continuaron desarrollando la matemática de los griegos. En la Baja Edad Media se abrieron paso poco a poco aportes de la matemática con influencia islámica, que también llegaron a la Europa cristiana. La fundamentación del álgebra actual constituye el aporte más importante de los matemáticos islámicos.

LA MATEMÁTICA GRIEGA Y HELÉNICA

LA MATEMÁTICA GRIEGA Y HELÉNICA 

SISTEMA DE NUMERACIÓN

Hacia el año 900 a.C. tiene lugar el paso de la Edad de Bronce a la Edad del Hierro, lo que provoca la caída de las grandes civilizaciones de la antigüedad, y su sustitución por otras civilizaciones como la Griega. En las nuevas formas sociales, como la “polis” Griega, el comercio y el contacto con otras civilizaciones hacen que las matemáticas evolucionen.

Los griegos tomaron elementos de las matemáticas de los babilonios y de los egipcios.Parece razonable admitir que los griegos de los primeros tiempos (así como los antiguos egipcios, babilonios y demás pueblos orientales) realizaron sus cálculos valiéndose de los dedos o con la ayuda de guijarros.

ÁBACO

Se atribuye a Pitágoras la introducción del ábaco en Grecia.
Con el paso del tiempo, las columnas fueron reemplazadas por hilos o varillas de alambre (fijadas en un bastidor) y los guijarros por cuentas ensartadas en los alambres.

ALFABETO GRIEGO

La innovación más importante fue la invención de las matemáticas abstractas basadas en una estructura lógica de definiciones, axiomas y demostraciones.

Un axioma es una proposición que se considera «evidente» y se acepta sin requerir demostración previa.

La lógica es una teoría de argumentación y dentro de las matemáticas hoy se aplica a las ciencias de la computación que son aquellas que abarcan las bases teóricas de la informática, así como su aplicación en sistemas computacionales.

No se debe confundir el carácter teórico de esta ciencia con otros aspectos prácticos como Internet. Lo trataremos en las matemáticas del siglo XXI.

Según los cronistas griegos, este avance comenzó en el siglo VI a.C. con Thales de Mileto y Pitágoras de Samos.

Período Helénicoque dura hasta la muerte de Alejandro Magno y Aristóteles. Las matemáticas están unidas a la filosofía y se desarrollan en la Escuela Jónica con Thales de Miletos, la Escuela Pitagórica y Los Sofistas o los Eleatas.

Destacamos los avances más importantes de esta época.

EL círculo la única figura plana que tiene un nombre par la parte interior y otra para la exterior, circunferencia.
Considerada la figura perfecta, de tal manera que una elipse no se conocía como tal, se consideraba una circunferencia deformada.

Se consideraba que el sistema solar era circular.

Dada su importancia, a ellos debemos un amplio estudio de esta figura:

• “El ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto”.
• “Lo ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales”.
• “Si dos rectas se cortan, los ángulos opuestos por el vértice son iguales”.
• “Todo diámetro divide al círculo en dos partes iguales”.
• “Toda recta paralela a uno de los dos lados de un triángulo divide a los otros dos en partes proporcionales”.

• El concepto de lugar geométrico.
• Estudio de las proporciones.
• Mide alturas con ayuda de un bastón y las sombras.
• Es capaz de calcular la distancia de los barcos a la costa, por semejanza.

En la actualidad es imprescindible el estudio del teorema que lleva su nombre, en aplicaciones al dibujo lineal, a los estudios de la trigonometría, a la geometría plana y del espacio. etc….

Teorema de Thales: si varias paralelas son cortadas por dos secantes, los segmentos determinados en una secante son proporcionales a los determinados en la otra secante. Los ángulos internos son iguales y los externos suplementarios.

Escuela Pitagórica.
Pitágoras vivió unos 50 años después de Thales, fundó la escuela pitagórica dedicada al estudio de la filosofía, la medicina y las matemáticas. Enseñó la importancia del estudio de los números para poder entender el mundo.
• Dividieron los números naturales en pares e impares (femenino y masculino, respectivamente).
• Dividen la Aritmética como ciencia.
• Inventan la denominación de números amigos y números perfectos.
• Conocían las proporciones aritméticas, geométricas y armónicas, así como las medias aritméticas, geométricas y armónicas.
• Relacionan la música con la matemática.
• Las aplican a fenómenos naturales.
• Fundan las matemáticas como sistema deductivo.
• Los pitagóricos hacen de la matemática una ciencia por excelencia y hacen la primera división.

Algunos de sus discípulos hicieron importantes descubrimientos sobre la teoría de números y la geometría, que se atribuyen al propio Pitágoras. Incluso su famoso teorema “la suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa”.

El Quadrivium, materias de enseñanza propuesta por los pitagóricos, y su enseñanza fue usada hasta mediados de la edad media:

• ARITMÉTICA
• MÚSICA
• ASTRONOMÍA
• GEOMETRÍA

Tomado de: Matemáticas con mucho arte

LA MATEMÁTICA EN LA INDIA

LA MATEMÁTICA EN LA INDIA

SISTEMA DE NUMERACIÓN

La matemática india logró una importancia liminar en la cultura occidental prerrenacentista con el legado de sus cifras, incluyendo el numeral 0, para escribir el cero: actualmente cardinal del conjunto vacío. Y en numerales polidígitos, el 0 indica que no hay valor alguno en la unidad correspondiente.

Teorema de Brahmagupta.

Si bien algunos testimonios permiten opinar que durante la época védica (1500 a 1000 a. C.) y brahmánica (siglo V) existió en la India una ciencia matemática, no obstante fue durante la época clásica (siglos I al VIII) cuando los matemáticos hindúes llegaron a la madurez.

Con anterioridad a este período, los hindúes tuvieron algún contacto con el mundo griego. La marcha de Alejandro Magno sobre la India tuvo lugar durante el siglo IV a.C. Por otra parte, la expansión del budismo en China y la del mundo árabe multiplicaron los puntos de contacto de la India con el exterior. Sin embargo, las matemáticas hindúes se desenvolvieron en un plano original, apoyándose más en el cálculo numérico que en el rigor deductivo.

El mundo les debe el invento trascendental de la notación posicional empleando la cifra cero como valor nulo. Utilizaron, como en occidente, un sistema de numeración de base 10 (con diez dígitos). Los Antiguos mayas también utilizaron el cero (siglos IV al VII). Egipcios, griegos y romanos, aunque utilizaban un sistema decimal, no era posicional, ni poseía el cero, que fue transmitido a occidente mucho más tarde, por los árabes, a través de la España e Italia medievales. Las múltiples ventajas prácticas y teóricas del sistema de «notación posicional con cero» dieron el impulso definitivo a todo el desarrollo ulterior de las matemáticas.

El sistema de numeración decimal aparece ya en el Süryasiddhanta, pequeño tratado que data probablemente del siglo VI y parece que no es muy anterior a éste. Los trabajos matemáticos de los hindúes se incorporaron en general a las obras astronómicas. Este es el caso de Aryabhata, nacido hacia 476, y de Brahmagupta, nacido hacia 598. Mucho más tarde (hacia 1150), Bhaskara II escribió un tratado de aritmética en el que exponía el procedimiento de cálculo de las raíces cuadradas. Se trata de una teoría de las ecuaciones de primer y segundo grado, no en forma geométrica, como lo hacían los griegos, sino en una forma que se puede llamar "algebraica".

El carácter operacional de la matemáticas hindúes iba a la par con una concepción general del número irracional, pero abierta de un modo natural al negativo, con lo cual podían tomar en consideración los dos signos de la raíz cuadrada y las dos soluciones de la ecuación de segundo grado; así quedó abierto el camino del álgebra formal, seguido posteriormente por los árabes.

Los hindúes fueron los pioneros en utilizar cantidades negativas para representar deudas, ya que en aquellos tiempos notaban la necesidad de representar sus deudas, de tal forma que lo hicieron con el signo(-). EJEMPLO: Para entender mejor la palabra deuda viene de lo que debemos, por decirlo así lo que nos falta y debemos sacar de nuestro bolsillo, pues los hindúes lo representaron con el signo (-).

Los primeros documentos matemáticos hindúes datan del siglo V d.C., sin embargo se piensa que debió haber una actividad matemática mucho antes de esta época. Parte de sus conocimientos geométricos primitivos utilizados en la construcción de templos y altares se encuentran en los salvasutras o "reglas de la cuerda", versiones de conocimientos que pueden remontarse a la época de Pitágoras.

ARITMETICA

NUMERACION DE LA INDIA

La numeración india todavía es usada en india, Pakistán, Bangladesh, Nepal, y Birmania se basa en agrupar dos lugares decimales, en lugar de los tres habituales en casi todo el resto del mundo. Este sistema de numeración nos dio un gran avance ya que introdujo separadores entre los números en los lugares apropiados para el agrupamiento de a dos. Por otra parte en este sistema de numeración aparece el símbolo del cero en el siglo lX, Con la introducción del símbolo para el 0 de la numeración hindú tenemos el sistema de numeración que actualmente usamos. Con una base decimal, una notación posicional, una forma cifrada para cada uno de los diez numerales básicos. La suma y la multiplicación se hacían en la India casi como las hacemos hoy, salvo porque la escritura de los números se hacía con los de orden menor a la izquierda. Para multiplicar 456 x 34 = 15.504 lo hacían de la siguiente manera. La disposición en celdillas es un recurso para evitar las "llevadas", sólo hay que tener en cuenta las llevadas de las sumas parciales diagonalmente

GEOMETRÍA

Entre las obras relacionadas con la geometría esta los aryabhata, siddhantas, y los sulvasutras en la última nos encontramos con reglas para la construcción de ángulos rectos por medio de ternas, cuyas longitudes constituyen a ternas pitagóricas, para la construcción de altares. Pero sin embargo se cree que esta reglas fueron heredaron de los babilonios. También agregó a este libro algunos aportes de los elementos de Euclides. Pero se cree que estas obras fueron basadas en obras de los matemáticos griegos. Los sulvasutras también contenía temas relacionados con la aritmética (fracciones, raíces cuadradas, interés simple, la regla de tres, la regula fácil) y álgebra (ecuaciones lineales y cuadráticas) y progresiones aritméticas। También contiene problemas geométricos.

TRIGONOMETRIA 

Una de las contribuciones de la india a las matemáticas, consistió en la función equivalente al seno en trigonometría, para remplazar las tablas de cuerdas griegas las tablas más antiguas son las encontradas en los siddhantas y en el aryabhata donde se dan los senos de los ángulos menores de 90 grados 0, se tomaba como radio 3,438 unidades y la circunferencia correspondía como 360 *60=21600 unidades, pero para los hindúes en ecuaciones p era la raíz cuadrada de 10।

ALGEBRA 

En la matematica de la india se destacaron cuatro nombres propios: Aryabhata (s।VI), Brahmagupta (s।VI), Mahavira (s. IX) y Bhaskara Akaria (s.XII) quienes Profundizaron en la obtención de reglas de resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas, en las cuales las raíces negativas eran interpretadas como deudas. Desarrollaron también, sin duda para resolver problemas astronómicos, métodos de resolución de ecuaciones diofánticas, llegando incluso a plantear y resolver (siglo XII) la ecuación x²=1+ay², denominada ecuación de Pelt.

Tomado de: Historia de las Matemáticas/India Clásica

LA MATEMÁTICA EN LA CHINA ANTIGUA

LA MATEMÁTICA EN LA CHINA ANTIGUA

ARITMÉTICA SISTEMA DE NUMERACIÓN

En china existieron 2 sistemas de numeración en uno los números se representaban por pequeñas varillas de bambú o marfil, este sistema perduro muy poco, ya que se creaban problemas de confusión entre las descripciones de números grandes. El problema más grande con esta notación fue que podría llevar a una confusión. ¿Qué era ? Podría ser 3, o 21 o 12 o incluso 111.

El otro sistema es de la forma clásica que a usar desde el 1500 A.C. aproximadamente. Es un sistema decimal estricto que usa las unidades con símbolo distinto para cada uno de ellos. En este sistema de numeración era fundamental el orden de la escritura ya que 5 10 7 igual podría representar 57 que 75.

Los eruditos chinos por su parte desarrollaron un sistema posicional muy parecido al actual que desde que incorporó el cero por influencia india en s। VIII en nada se diferencia de este।

EL ÁBACO

Con esta gran herramienta que se inventaron los chinos y que aun se utiliza, los chinos implementaron su forma de hacer las operaciones básicas en el ábaco nos lo han heredado los chinos conocían bien las operaciones con fracciones ordinarias hasta el puno de que hallaban el mínimo común denominador de varias fracciones, con las fracciones hacían analogías entre sexos, refiriéndose al denominador como “el hijo” y al denominador como “la madre “también utilizaban el yin y yang aparte de esto adoptaron un sistema decimal en pasos y medidas dio como resultado como resultado la implementación de decimales en el manejo de las fracciones.

Después de esto los chinos descubrieron la idea de los números negativos, no les causo muchas dificultades ya que estaban acostumbrados a calcular usando las varillas, uno de color rojo para los positivos y de color negro para los negativos. aunque nunca los aceptaron como solución a una ecuación.

LOS CUADRADOS MAGICOS

Los chinos han sido siempre muy aficionados al diseño armónico, aritmético o geométrico, estos cuadraditos ayudaron al autor de los nueve capítulos a resolver el sistema de ecuaciones lineales. Estos cuadros y diferentes figuras consistía en que en todos sus lados diera el mismo número

GEOMETRÍA en la matemática primitiva de china se ve que quizá dependió un poco de Mesopotamia ya que tenían el mismo valor para p(3), en la búsqueda de valores más exactos, aparece liu hui de donde se obtiene el valor de 3,14usando un polígono regular de 96 lados y la aproximación mejor de 3,14159

TRIANGULO ARITMETICO Las obras de yang hui incluían también otros resultados para la suma de series finitas y del llamado triangulo de pascal, pero también son conocidas en el espejo precioso publicado por chu shih-shih, quien maneja estas sumas por medio del método de diferencias finitas y por otra parte el teorema binomial para potencias enteras positivas

ALGEBRA De la época de la primera dinastía Han (206 a. C. hasta 24 d.C.) procede el tratado Matemáticas en nueve Libros. Posteriormente otros matemáticos como Liu Hui (siglo III), Sun-zi (siglos II-IV), Liu Zhuo (siglo VI) y otros hicieron aportaciones a este tratado. El texto trata problemas económicos y administrativos como medición de campos, construcción de canales, cálculo de impuestos,..Trabajan las ecuaciones lineales indeterminadas y un procedimiento algorítmico para resolver sistemas lineales parecidos al que hoy conocemos como método de Gauss que les llevó al reconocimiento de los números negativos. Estos números constituyen uno de los principales descubrimientos de la matemática china.

La escuela algebraica china alcanza su apogeo en el siglo XIII con los trabajos de Quin Jiu-shao, Li Ye, Yang Hui y Zhu Shi-jie que idearon un procedimiento para la resolución de ecuaciones de grado superior llamado método del elemento celeste o tian-yuanshu. Este método actualmente se conoce como método de Horner matemático que vivió medio milenio más tarde.

El desarrollo del álgebra en esta época es grandioso: sistemas de ecuaciones no lineales, sumas de sucesiones finitas, utilización del cero, triángulo de Tartaglia (o Pascal) y coeficientes binomiales así como métodos de interpolación que desarrollaron en unión de una potente astronomía.

El siglo VII vió la enorme gesta de ingeniería que supuso la unión de los dos ríos más importantes de China mediante el Gran Canal de 1700 km. de largo.

Tomado de: Historia de las Matemáticas/China Clásica

LA MATEMÁTICA EN BABILONIA

LA MATEMÁTICA EN BABILONIA

Los registros que se tienen son de naturaleza arqueológica, en arcilla, y, por supuesto, se encuentran limitados de muchas maneras. No nos permiten una visión exacta de las características en que se desarrollaron cultural y matemáticamente. En relación con Mesopotamia, los registros más antiguos datan del 3 500 a.C. y terminan en el 539 a.C, fecha en la que estos territorios fueron conquistados por persia.

Hay alrededor de 500 000 tablillas de arcilla que constituyen las fuentes principales de la cultura babilónica, y entre ellas unas 500 son de interés para las matemáticas. La mayoría de los registros de que se dispone son del periodo llamado Antiguo, más o menos alrededor del 2 500 a.C.

El sistema cuneiforme de escritura fue descifrado a mediados del siglo XIX por George Frederick Grotefend y Henry Creswicke Rawlinson.

La aritmética más desarrollada en la civilización Mesopotámica fue la Acadiana. Dos de las características más importantes de su sistema numérico fueron la base 60 y la notación posicional. No obstante, debe señalarse que los babilonios no usaban solamente la base 60. En ocasiones, aparecía la base 10, pero otras bases también. Al igual que sucede con otras culturas y sistemas numéricos, con los babilonios se dio una forma combinada de sistemas numéricos determinados por circunstancias históricas o incluso regionales. En lo que sí parece haber consenso es que se dio el uso bastante sistemático de la base 60 para todos los cálculos relacionados con la astronomía. Esto debe subrayarse:

"Tanto el sistema sexagesimal como el sistema del valor del lugar han permanecido en posesión permanente de la humanidad. Nuestra división presente de la hora en 60 minutos y 3 600 segundos data de los sumerios, al igual que nuestra división del círculo en 360 grados, cada grado en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. Hay razón para creer que esta opción de 60 en lugar de 10 como una unidad ocurrió en un esfuerzo por unificar sistemas de medida, aunque el hecho de que 60 tiene muchos divisores también puede haber jugado un papel. Acerca del sistema del valor posicional, su importancia permanente se ha comparado con el alfabeto (ambas invenciones reemplazaron un simbolismo complejo por un método fácilmente entendible por muchas personas). Es razonable suponer que hindúes y griegos obtuvieron las rutas de las caravanas hacia Babilonia; también sabemos que los académicos musulmanes lo describieron como una invención india. La tradición babilónica, sin embargo, puede haber influido en la aceptación tardía del sistema posicional.'' [Struik, A Concise History of Mathematics, p. 26].

No poseían sin embargo el cero, ni tampoco algún símbolo para expresar la diferencia entre la parte entera y la fraccionaria de un número. Estos problemas implicaban cierto nivel de ambigüedad en el sistema numérico. De hecho, se afirma que -aunque lo usaban- no se trataba de un sistema posicional absoluto.

Para los babilonios, los símbolos fundamentales eran del 1 al 10 y los números del 1 al 59 se formaban combinando algunos de estos símbolos.

Fracciones cuneiformes.

Sumar y restar era un proceso de poner o quitar símbolos.

La multiplicación se hacía más o menos como se hace hoy; de hecho, dividir era multiplicar por el inverso. Usaban tablas para obtener los inversos.

En algunos problemas concretos aparecen las progresiones aritmética y geométrica.

Se sabe también que los babilonios podían expresar cuadrados, cubos, raíces cuadradas, cúbicas; eso sí: a través de tablas. En efecto, por medio de las tablas podían resolver ecuaciones de la forma:

Tambien resolvian la ecuación como nosotros la resolvemos.

En ocasiones, los babilonios emplearon símbolos para las incógnitas pero sin conciencia sobre el significado de ello.

En lo que se refiere a la geometría, para los babilonios ésta no se estudiaba por sí misma, no se consideraba tampoco una disciplina separada, y siempre en relación directa con problemas concretos surgidos del entorno. Sin embargo, conocían las áreas de rectángulos, de triángulos rectángulos, isósceles, trapecios (un lado perpedicular a dos paralelos).

De manera general, en las matemáticas babilonias tanto en la aritmética, el álgebra como en la geometría, las reglas eran establecidas por la prueba y el error, con sustento en la experiencia práctica. No hay evidencia de la idea de estructura lógica, o la de la demostración, o de la necesidad de ofrecer una justificación más allá de lo que la práctica o la evidencia física permitían.

Si se posee la mentalidad deductiva y axiomática que impondrá Grecia y que luego permearía Europa, se empujaría una tendencia a considerar este tipo de resultados como elementales o rudimentarios. Sin embargo, aquí hay un debate. Por ejemplo, porque los métodos de demostración que se pueden asumir como válidos no necesariamente deben establecerse solamente por el recurso a la deducción a partir de primeros principios, por más valiosa y necesaria que ésta pueda ser. La repetición sistemática, el uso, la contrastación con ejemplos o la búsqueda de contraejemplos podrían ser alternativas para asegurar la validez de un resultado.

En todo caso, aunque en geometría hay, también, resultados relevantes, en cuanto al álgebra y la aritmética, no se puede negar que poseían una impresionante sabiduría. Como veremos, el álgebra y la aritmética se verían sometidos a criterios más bien de naturaleza ideológica en el mundo griego, debilitando su progreso.

Si queremos resumir las contribuciones de estas dos civilizaciones en las matemáticas, babilonia y egipcia, debemos señalar una aritmética esencialmente de números enteros y de fracciones, aunque hay cálculo aproximado de irracionales, notación posicional, muy poco simbolismo, relevante desarrollo del álgebra y la aritmética en los babilonios, una geometría que consistía esencialmente de fórmulas empíricas, pero que manejaban resultados que luego serían retomados por los griegos (aunque de otra manera). No aparece la idea de prueba o demostración de la forma como la conocemos en la visión occidental y con los ojos de modernidad, o, en general, la preocupación por una estructura lógica, teórica. Esto será importante a la hora de evaluar con justicia la contribución de la civilización griega a las matemáticas y a la ciencia.

SISTEMA DE NUMERACIÓN BABILÓNICO 

Tomado de: FILOSOFIA DE LA MATEMATICA