TEORÍA DE CONJUNTOS Y TOPOLOGÍA - SIGLO XIX Y XX

TEORÍA DE CONJUNTOS Y TOPOLOGÍA - SIGLO XIX Y XX

 

Gran matemático alemán Georg Cantor dedicó gran parte de su vida al estudio del infinito, los distintos infinitos y el llamado continuo, y en el siglo XIX desarrolló la teoría de conjuntos íntimamente relacionada con la teoría de números transfinitos. Cantor fundamentó una axiomática consistente que permite construir los conjuntos y posteriormente establecer el concepto de infinito. Para esto definió el concepto de “cardinalidad” o “potencia” de un conjunto.

Dos conjuntos se dicen que tienen el mismo número de elementos, que tienen la misma cardinalidad o son equipotentes, si existe una función definida entre ellos de forma que a cada elemento de uno sólo le corresponde otro elemento del otro conjunto, y viceversa.

Sus teorías sólo fueron reconocidas a principios del siglo XX, y en 1904 fue galardonado con una medalla de la Sociedad Real de Londres y admitido tanto en la Sociedad Matemática de Londres como en la Sociedad de Ciencias de Gotinga. En la actualidad se le considera como el padre de la teoría de conjuntos, punto de partida de exepcional importancia en el desarrollo de la matemática moderna.

El final de su vida se caracterizó por los continuos, y cada vez más graves, problemas depresivos. Es esta época, Cantor se dedicó principalmente a la filosofía y a la publicación de su teoría Bacon-Shakespeare en la que abordó uno de sus mayores intereses literarios: su convencimiento de que Francis Bacon escribió las obras de William Shakespeare.

En 1917 ingresó en un sanatorio y el 16 de enero de 1918 murió de un ataque al corazón.

La teoría de conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo.

El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "agrupación bien definida de objetos no repetidos y no ordenados"; Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto.

En el siglo XIX, según Frege, los elementos de un conjunto se definían sólo por tal o cual propiedad. Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida por el sistema ZFC. Sin embargo, sigue siendo célebre la definición que publicó Cantor:

Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestro pensamiento. Georg Cantor.

TOPOLOGÍA

Se trata de una disciplina que integra geometría, álgebra y análisis de una manera especial, aunque sistemáticamente se considera una parte de la geometría. Sus orígenes están asociados a la obra de Euler, Cantor y Möbius. La palabra topología había sido utilizada en 1847 por J. B. Listings en un libro titulado Vorstudien zur Topologie. Este había sido un alumno de Gauss en el año 1834. Usaba el término topología para lo que prefería llamar "geometría de posición'', sin embargo von Staudt usaba este último para la geometría proyectiva.

  

En la topología suele reconocerse dos ramas: la conjuntista y la algebraico combinatoria. La primera asociada a la teoría de conjuntos y la segunda que considera las figuras geométricas como agregados de bloques más pequeños.

Para algunos historiadores de las matemáticas, el punto decisivo fue dado por la publicación de Analisis Situs de Poincaré en 1895. Poincaré realizó importantes contribuciones en la topología combinatoria o algebraica. Podemos decir que ésta refiere a propiedades de los invariantes de transformaciones o funciones uno a uno (biunívocas o inyectivas) y además bicontinuas (la función y su inversa son continuas): los homeomorfimos. Courant y Robbins lo ponen así:

"Recordemos que la geometría elemental maneja las magnitudes (longitud, ángulo y área) que son invariantes por movimientos rígidos, mientras que la geometría proyectiva trata los conceptos (punto, línea, incidencia, razón simple) que son invariantes por el grupo, todavía más extenso, de las transformaciones proyectivas. Pero los movimientos rígidos y las proyecciones son casos muy particulares de las transformaciones topológicas: una transformación topológica de una figura  en otra figura  está dada por cualquier correspondencia

entre los puntos  de  y los puntos  de , que cumpla las dos propiedades siguientes:

1. La correspondencia es biunívoca. Esto significa que a cada punto  de  corresponde exactamente un punto  de , y recíprocamente.

2. La correspondencia es bicontinua. Esto significa que si tomamos dos puntos  y  cualesquiera de , y movemos  de manera que su distancia a  tienda a cero, entonces la distancia entre los correspondientes puntos  y  de  también tiende a cero, y recíprocamente.

Cualquier propiedad de una figura geométrica , que se mantenga para todas las figuras en que se transforma  mediante una transformación topológica, se llama una propiedad topológica de . Y la topología es la rama de la geometría que sólo estudia las propiedades topológicas de las figuras. Imaginen una figura copiada a 'mano alzada' por un dibujante consciente pero inexperto, que curvara las líneas rectas y alterara los ángulos, las distancias y las áreas; entonces aunque se habrían perdido las propiedades métricas y proyectivas de la figura primitiva, las propiedades topológicas quedarían iguales''. [Courant, R. y Robbins, H.: "Topología'' p. 177]

La topología trabaja esencialmente con los aspectos cualitativos. Sin embargo, el asunto sobre los inicios de la topología debe colocarse en una perspectiva histórica más amplia.

Puentes de Konigsberg.

Se puede rastrear el asunto hasta Leibniz que estudió la operación o transformación de algunas propiedades de figuras geométricas, asunto que llamó precisamente analisis situs ogeometria situs.

Otra referencia tiene que ver con la relación que existe entre el número de vértices, bordes y caras de poliedros convexos cerrados. En un cubo, la relación es , lo que había sido publicado y demostrado por Euler en los años 1750 - 1751 (se supone sin embargo que esto era conocido por Leibniz y Descartes).

Un asunto de carácter topológico fue el problema del puente de Koenigsberg, para el que Euler encontró una solución en el año de 1735.

Listing trató de generalizar la relación 

Möbius, quien fuera asistente de Gauss, clasificó las propiedades geométricas de similaridad, afinidad y congruencia y propuso el estudio de las relaciones entre figuras con puntos que poseían relaciones biunívocas y donde existiera correspondencia también con los puntos cercanos. Fue en este contexto que Möbius descubrió las superficies con un solo lado, entre las cuales la más famosa es precisamente la llamada "cinta de Möbius''. Debe decirse, no obstante, que Listing también las había concebido.

El problema de los 4 colores también debe mencionarse. Se trataba de mostrar que 4 colores son suficientes para colorear todos los mapas de los países siempre y cuando los países que tuvieran un arco como frontera común fueran coloreados con un color diferente. Se trataba de una problema-conjetura formulada por un profesor casi desconocido de matemáticas: Francis Guthrie. El primer intento de probar la conjetura, aunque fallido, se dice que fue dado por Cayley. Courant y Robbins lo consignan:

"Al colorear un mapa geográfico, se suele dar colores distintos a dos países que tengan parte de sus límites en común. Se ha encontrado empíricamente que cualquier mapa, independientemente de cuántos países tenga y de cómo estén situados, puede colorearse usando solamente cuatro colores distintos. Es fácil ver que un número menor de colores no bastaría para todos los casos. La figura 11 muestra una isla en el mar, que ciertamente no puede ser coloreada de manera apropiada con menos de cuatro colores, ya que contiene cuatro países, cada uno de los cuales limita con los otros tres.

El hecho de que todavía no se haya encontrado ningún mapa que requiera más de cuatro colores para colorearlo, sugiere el siguiente teorema matemático: Para cualquier división del plano en regiones no superpuestas, siempre es posible marcar las regiones con uno de los números 1, 2, 3, 4, de tal manera que las regiones adyacentes no reciban el mismo número. Por regiones 'adyacentes' entendemos aquellas que tienen un segmento de límite en común; dos regiones que se encuentren en un solo punto o en un número finito de puntos (como los estados de Colorado y Arizona) no se llamarán adyacentes, ya que no se presenta ninguna confusión si se colorean del mismo color''. [Courant, R. y Robbins, H.: "Topología'' p. 183]

Con Riemann la investigación en topología adquiere una nueva fisonomía, pues sin duda la geometría diferencial posee un gran sentido topológico. En el año 1851, el mismo Riemann subrayó la necesidad de resultados topológicos para el estudio de las funciones de variable compleja. De hecho, introdujo el concepto de conectividad de una "superficie de Riemann'', una noción que le sirvió para clasificar superficies, y que era una propiedad topológica.

Klein también estudió superficies topológicas, y, precisamente, se le debe la creación de la famosa "botella de Klein'': una superficie que no posee borde, ni tampoco interior o exterior, y posee un solo lado.

Una generalización del concepto de conectividad fue aportado por el italiano Enrico Betti, de la Universidad de Pisa, que redefinió lo que se llama números de conectividad para cada dimensión.

La teoría más general de la topología combinatoria fue desarrollada por Poincaré, quien también había ofrecido una teoría de ecuaciones diferenciales cualitativas, que trata precisamente de la forma de integrales curvas y el carácter de los puntos singulares. Poincaré realizó una generalización de las superficies de Riemann por medio de las variedades diferenciales para así estudiar la geometría de las figuras -dimensionales. El teorema de la dualidad, los números de Betti, coeficientes de torsión, "grupo de Poincaré'', grupo de homotopía, son todos asuntos que se incluyen en estos trabajos.

En "Analysis situs'' hizo primeramente un listado de todos los diferentes tipos de variedades diferenciales y las ecuaciones algebraicas que las describen (algunas ya conocidas, otras nuevas).

Posteriormente, en otros artículos acude a un procedimiento geométrico, donde se concentra en sólidos como el cubo y el tetraedro, y ofrece un método más simple para contar el número de características topológicas de cada sólido. Poincaré trató de extender la famosa formula de Euler a  dimensiones. Las variedades se convierten en la topología algebraica y combinatoria: el estudio de fórmulas algebraicas o diferenciales que describen la estructura de superficies no usuales. En lugar de clasificar todos los espacios topológicos posibles, se trata de limitarse a estructuras que se encuentran en el álgebra abstracta.

La topología conjuntista fue desarrollada en sus inicios por Maurice Fréchet (1878 - 1973), 1906, quien empujó hacia el estudio de espacios más abstractos. Un espacio se considera un conjunto de puntos vinculados por una propiedad común. Estas nociones fueron motivadas por el progreso de la teoría de conjuntos de Cantor y del análisis funcional (en particular dentro del cálculo de variaciones). Este último analiza las funciones como puntos de un espacio. Fréchet estableció diferentes conceptos que podían servir como el nexo para establecer un espacio. Por ejemplo, ofreció una generalización del concepto de distancia en el espacio euclidiano para definir los espacios métricos. En un espacio métrico se considera el vecindario de un punto  como todos aquellos puntos que están a una distancia establecida del punto . En tres dimensiones se trataría de bolas o esferas con un radio determinado.

Otro de los grandes topólogos fue el holandés L. E. J. Brouwer, a quien vamos a estudiar con mayor detalle dentro de la filosofía de las matemáticas, que realizó contribuciones en la topología conjuntista y la algebraica. Partió de una perspectiva diferente: enfatizó las transformaciones biunívocas más que la invariancia de la dimensión. Completó y generalizó los trabajos de Poincaré. Estableció la topología de los conjuntos de puntos, que refiere a propiedades de los números reales, y también hizo contribuciones a la teoría de la dimensión (que estudia el número de coordenadas que se requiere para describir un objeto matemático básico).

Tiempo después, Felix Hausdorff creó una teoría de espacios abstractos usando la noción de vecindario (Grundzüge der Mengenlehre, 1914). Un espacio topológico se define como un conjunto de puntos junto con una familia de vecindarios asociados a ellos. Aquí hay varias nociones que se establecen: espacio compacto, conexo, separable. También es aquí donde entra la idea de homeomorfismo. Una vez establecido esto, se formula la topología conjuntista como aquélla que estudia las propiedades de invariantes bajo homeomorfismos. Hausdorff también dio la noción de completitud, que el mismo Fréchet había usado en 1 906. Usó la noción de conectividad, planteada antes por otros matemáticos (aunque él no lo sabía), para considerar conjuntos conexos como ideas topológicas.

Hausdorff formalizó la topología conjuntista mediante una nueva concepción de geometría en la cual un espacio tiene una estructura que consiste en relaciones que pueden definirse en términos de un grupo de transformaciones. Con el trabajo de Hausdorff se afirmó la topología conjuntista como una disciplina propia dentro de las matemáticas.

Volvemos a la topología algebraica. Se suele afirmar que fue Oswald Veblen quien, como Hausdorff con la conjuntista, hizo de la topología combinatoria un campo independiente de las matemáticas. En el año 1905 Veblen probó el teorema de la curva de Jordan, que afirma que una curva cerrada simple en un plano (un círculo, por ejemplo), divide ese plano en 2 regiones: una adentro y otra afuera de la curva. Veblen también usó la fórmula de Euler, el problema de los cuatro colores y otros asuntos topológicos clásicos para obtener importantes resultados en topología. A lo largo de su obra Veblen quería hacer que la geometría sirviera como un modelo para el mundo real.

Alumno y colega de Veblen en la Universidad de Princeton, James W. Alexander ampliaría muchos trabajos en la topología combinatoria, como las pruebas de Brouwer en la topología algebraica y combinatoria; además, mostró que la invariancia de las propiedades combinatorias podía aplicarse a objetos topológicos especiales, los números de Betti, y a los coeficientes de torsión. En 1928 encontró un método directo para encontrar una fórmula para describir los "nudos''.

Alexander fue importante en la búsqueda de convergencias entre los dos tipos de topologías. Por ejemplo, observó las relaciones entre la topología combinatoria y el analysis situsrectilíneo (es decir, geometría de figuras de un número finito de pedazos planos).

En el siglo XX, la topología se afirmó como una nueva disciplina con toda propiedad dentro de las matemáticas, al igual que la geometría, el álgebra, o el análisis, y participó de un espíritu de convergencia que ha caracterizado buena parte de las matemáticas modernas; se trata de la utilización de métodos de una disciplina en las otras, potenciando constantemente nuevas ramas de un árbol cada vez más complejo y diversificado.