GEOMETRIA NO EUCLIDIANA Y GEOMETRIA PROYECTIVA - SIGLO XIX Y XX

GEOMETRIA NO EUCLIDIANA Y GEOMETRIA PROYECTIVA - SIGLO XIX Y XX

LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA

La geometría no euclidiana es llamada así por su oposición a uno de los postulados del sistema deductivo de Euclides, desarrollado en sus Elementos de Geometría. Se trata del quinto postulado, ya citado arriba, y que formula la imposibilidad de que por un punto exterior a una recta pueda ser trazada más de una paralela a dicha recta.

En la segunda década del siglo XIX, más en concreto alrededor de 1824, Carl Friedrich Gauss (en la imagen) concluyó que debían ser posibles geometrías alternativas a la de Euclides. Pese a ello, y como señala Henderson, “Gauss nunca publicó sus pensamientos sobre geometría no euclidiana, y por eso el honor de su descubrimiento oficial ha sido dado a Nikolai Ivanovich Lobachevski, ruso, y János Bolyai, húngaro, que separadamente formularon el primer sistema de geometría no euclidiana” . Por lo que al primero respecta, ha de señalarse que Lobachevsky publicó “On the Principles of Geometry” en el Kazan Messenger, describiendo la “geometría imaginaria” que, desde 1826, había desarrollado. Por su parte, Bolyai publicó en 1832 “Absolute Science of Space”, apareciendo como un apéndice al tratado matemático de su padre titulado Tentamen. No obstante, Bolyai había completado su manuscrito hacia 1829.

 

Así pues, una alternativa consistente al sistema de Euclides comienza a ser formulada. Lobachevsky y Bolyai optaron por la misma alternativa al citado quinto postulado de Euclides: a través de un punto exterior a una recta dada puede ser dibujada más de una línea que no corte la recta dada. Existen infinito número de líneas que, aunque se aproximen a la recta dada, como se extienden hasta el infinito, nunca se intersectarán. Similarmente, la suma de los ángulos de un triángulo será menos de los 180º de la geometría euclidiana. La consistencia lógica de la alternativa de Lobatchevsky la ha subrayado Poincaré al afirmar que sus proposiciones “no tienen ninguna relación con las de Euclides, pero no están menos lógicamente ligadas unas con otras”.

Un primer problema planteado por estas iniciales geometrías alternativas al sistema euclidiano era el de su visualización, problema que durará algunas décadas. Henderson apunta que “la visualización de esas propiedades de la geometría Lobachevsky-Bolyai fue grandemente facilitada en 1868 cuando el matemático italiano Eugenio Beltrami propuso la ‘pseudoesfera’  (en la imagen) como un modelo parcial para este tipo de geometría no euclidiana”. Esta introducción de Beltrami fue indicio del interés por parte de los matemáticos hacia este tema, lo que ha de unirse a que Gauss ganó prestigio en la década de los 60, dando a su vez prestigio a la geometría no euclidiana. Con ello, este tipo de geometría captó la atención de una joven generación de matemáticos, que la desarrollaron más.

Entre la citada joven generación ha de destacarse a Bernhard Riemann. 

En 1867, se publicó una conferencia que éste había pronunciado años atrás en la Universidad de Göttingen (titulada “Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen”), y en la que sugería la idea de un tipo más importante de geometría no euclidiana, distinguiendo entre espacio ilimitado y espacio infinito. Según Henderson, “en la superficie de una esfera el espacio sería ilimitado y sí finito, y la esfera, de hecho, es el modelo más fácilmente entendible para la geometría no euclidiana implicada por Riemann. Una vez que el espacio es finito y una línea no puede ser extendida indefinidamente (…), es posible establecer que ninguna línea puede ser dibujada paralela a una línea dada. Este principio es fácilmente aparente en la geometría de la esfera donde ‘líneas’ son definidas como grandes círculos y todas se encontrarán en los ‘polos’ de la esfera”.

 

De este modo, Riemann proponía una geometría en superficies de curvatura positiva constante, justo lo opuesto a la geometría de Lobachevsky-Bolyai se superficies de curvatura negativa constante. Además, Riemann sugirió una geometría en superficies de curvatura variable, en la que el movimiento de una figura cambiaría su tamaño y sus propiedades. Dicha deformabilidad de figuras en movimiento muestra su carácter no euclidiano en el hecho de que “aunque Euclides no había postulado formalmente la indeformabilidad de figuras en movimiento, su asunción es esencial para sus sistema”. Las figuras, negado el principio de indeformabilidad, pueden retorcerse al ser movidas. Este hecho será central en el análisis de la obra de Marcel Duchamp que veremos más abajo. No en vano, fue este tipo tardío de geometría no euclidiana el que sería de gran interés para artistas de principios del siglo XX, tales como los cubistas y Marcel Duchamp. Por otra parte, ha de mencionarse la fundamental característica no euclidiana del continuo espacio-tiempo de Einstein: su curvatura, variable de un lugar a otro, es causada por la materia, distribuida en dicho continuo. Comprobada la falibilidad de Euclides, surge un espacio curvo que invalida la perspectiva lineal que había dominado desde el Renacimiento. Al tiempo, dicha falibilidad “podía sólo sumarse al reconocimiento creciente en el siglo XIX de la naturaleza relativa de las ‘verdades’ matemáticas o científicas que el hombre puede descubrir”.

GEOMETRIA PROYECTIVA

Es una rama de la Geometría que estudia los objetos lineales (puntos, rectas, planos, etc.) y cómo se intersectan.

Esta parte de dos principios:

• Dos puntos definen una recta.
• Todo par de retas se cortan en un punto (cuando son dos rectas paralelas, se dice que se cortan en un punto del infinito, un punto llamado impropio).

Realizando un recorrido histórico sabemos que la geometría tuvo sus ideas en los matemáticos griegos, pero los orígenes de la Geometría Proyectiva se da en las pinturas del Renacimiento.

Fueron los pintores renacentistas los que le dan fundamento a esta rama. Estos pintores eran arquitectos, ingenieros y os mejores matemáticos del siglo XV; como Leonardo Da Vinci, Rafael Sanzio, Alberto Durero, entre otros.

Ellos lograron plasmar en lienzos planos los objetos y las figuras tridimensionales.

La esencia de la representación tridimensional se basaba en el principio de proyección y sección. Lo que se ve de la escena depende de la posición del observador.

Imaginaron que a tela era una pantalla de cristal interpuesta entre la escena y el ojo. Para ello dedujeron Teoremas que forman parte de la Geometría Euclidea.

En el siglo XVII, se rescatan los conocimientos griegos y su aplicación de la mano de Gerard Desargues (1591-1661) quien en 1639 realizo la publicación de “Brouillon Projet” que tenía conceptos e ideas que hoy forman parte de la Geometría Proyectiva.

Los trabajos de Desargues no fueron apreciados hasta que un alumno  sr, Bosse público en 1648 “El método universal de Desargues para la práctica de la perspectiva”. En dicho libro, en su apéndice escribió alunas conclusiones y el Teorema que lleva su nombre.

Este se conoce como el Teorema de Deargues y dice:

“Si dos triángulos están en perspectiva desde un punto, y sus pares de lados correspondientes se cortan, entonces los tres puntos de intersección están alineados” 

  

Destacamos que durante los siglos XVII y XVIII la geometría proyectiva  fue dejada de lado, y eso se debió a que la geometría analítica demostró ser más útil en otras ramas de las ciencias.

Pero resurge en el siglo XIX de la mano del francés Gaspard Monje (1743-1818) quien invento la Geometría Descriptiva. Este de rodeo de brillantes alumnos en la Ëcole de Polytechnique, como Carnot, Poncelet, Servois, entre otros.

Su meta fue intentar evidenciar que los métodos puramente geométricos podían lograr igual o más que los meramente algebraicos o analíticos.

Concluyendo, la Geometría Proyectiva es retomada de la Mano de Jean Víctor Poncelet (1788-1867), quien dada su estadía en una cárcel rusa reconstruyo todo lo aprendido de Carnot y Monge.

Su gran aporte fue “El Principio de Dualidad”, que consiste en que a partir de cualquier Teorema o construcción de Geometría Proyectiva podemos obtener otro, llamado Teorema Dual.

Para que sea más claro veamos lo siguiente:

     I.        En Geometría Proyectiva como en la Geometría Euclideana: “dos puntos cualesquiera determinan una recta”

    II.        Pero es verdad que en la geometría Proyectiva “dos rectas cualesquiera determinan un punto”

Vemos que de la 1era se obtiene 2da cambiando simplemente las palabras punto y recta.