FUNDAMENTOS DEL CALCULO

FUNDAMENTOS DEL CALCULO

EULER Y LAGRANGE

 

El siglo XVIII es denominado “El siglo del Análisis Matemático”. De 1700 a 1800 se dio la consolidación del calculo y sus aplicaciones a las ciencias naturales, particularmente a la Mecánica. Con ese desarrollo, vino la especializacion y el nacimiento de nuevas ramas de las matemáticas, tales como: la Teoría de Ecuaciones Diferenciales, ordinarias y parciales, el Calculo de Variaciones, la Teorıa de Series y la Geometría Diferencial. Las aplicaciones del análisis incluyen ahora la Teorıa de Vibraciones, la Dinamica de Partıculas, la Teorıa de Cuerpos Rıgidos, la Mecánica de Cuerpos Elasticos y Deformables y la Mecanica de Fluidos. A partir de entonces, se distinguen las matemáticas puras de las matematicas aplicadas. El desarrollo del analisis matematico en el siglo XVIII est´a documentado en los trabajos presentados en las Academias de Parıs, Berlın, San Petersburgo y otras, as´ı como en los tratados expositorios publicados en forma independiente. Las figuras dominantes de este periodo son el matem´tico suizo Leonhard Euler (1707-1783) y el matematico italo-frances Joseph-Louis Lagrange (1736-1813).

Euler nació en Basilea, Suiza, y complet´o se educacion universitaria a la edad de quince a˜nos. Es considerado el matemático mas prolıfico de todos los tiempos, sus obras abarcan casi setenta y cinco volúmenes y contienen contribuciones fundamentales a casi todas las ramas de las matemáticas y sus aplicaciones. La carrera profesional de Euler se desarrollo en la Real Academia de San Petersburgo, Rusia (1727-1741 y 1766-1783) y en la Academia de Berlın (1741-1766).

 

La obra de Euler en dos volumenes intitulada Introduccion al analisis infinitesimal, publicada en 1748, da lugar al nacimiento del llamado Analisis Matematico como rama de esta disciplina, analoga al Algebra y la Geometrıa. El Analisis Matematico es construido a partir del concepto fundamental de funcion y de los procesos infinitos desarrollados para la representacion y estudio de las funciones. En esa gran obra, por primera vez se presenta el estudio sistematico de las funciones exponenciales y de las funciones trigonometricas como funciones numericas, as´ı como el estudio de las funciones transcendentes elementales mediante sus desarrollos en series infinitas. A esa primera obra de Euler, siguieron dos obras m´as, en 1755 y 1768, sobre el calculo diferencial e integral, respectivamente, que constituyen la fuente original de los actuales libros y textos sobre el calculo y las ecuaciones diferenciales. 

El enfoque analıtico de Euler recibio un gran impulso de la otra gran figura del siglo XVIII, el matematico Joseph Louis Lagrange, quien a la muerte de Euler, en 1783, lo reemplazo como el matematico lıder de Europa. Aplicando metodos puramente analıticos, Lagrange extendio y perfecciono el Calculo de Variaciones y a partir de sus aplicaciones a la mecanica, sento los fundamentos de la llamada Mecanica Analıtica. En 1788 se publico su famoso tratado Mecanica Analıtica en donde, aplicando las ideas del calculo de variaciones, presenta los fundamentos analıticos de la mecanica. En el prefacio de su tratado, Lagrange declara que en su exposici´on s´olo recurre a argumento analıticos, sin dibujos, figuras o razonamientos mecanicos. Es decir, Lagrange hace de la mecanica una rama del analisis matematico.

Para fines del siglo XVIII habıa preocupacion en Europa por los fundamentos del calculo y del analisis. Los argumentos basados en la teorıa de fluxiones de Newton y en la idea de infinitamente peque˜no mostraban serias inconsistencias que fueron puntualmente señaladas por el obispo anglicano irlandes George Berkeley (1685-1753) en 1734. Afrontando la situacion anterior, Lagrange publico en 1797 su obra Teorıa de funciones analiticas en la cual pretende presentar un desarrollo completo del calculo de funciones sin recurrir a los conceptos de lımite o de cantidad infinitesimal. El enfoque de Lagrange se basa en considerar que las funciones son representables como series de potencias, cuyos coeficientes definen las derivadas de los distintos ordenes. En este tratado, Lagrange sienta las bases para la aproximacion de funciones por polinomios y da la forma del residuo denominada Residuo de Lagrange.