GEOMETRIA DIFERENCIAL
La palabra geometria proviene del griego y su significado
original parece responder a la tarea de medir terrenos; no es dificil imaginar
que, de tal actividad, se hicieran abstracciones que a la postre condujeran a
la determinacion de las propiedades fundamentales de los triangulos, de los
rectangulos, etc. La sintesis de la experiencia acumulada de medir y estudiar
terrenos quedo contenida en el libro “1os elementos” de Euclides, escrito tres
siglos antes de la era cristiana. En ese libro se mostró la geometria como una
ciencia que deduce una gran cantidad de propiedades generales de las figuras
geométricas a partir de una lista relativamente pequeña de propiedades
fundamentales que se toman como punto de partida. Esa lista se conoce como los
postulados de Euclides.
Hoy en dia, cuando pensamos en la geometria, entendemos basicamente
lo mismo; decimos que es la rama de la matemática que se encarga de estudiar
las propiedades del espacio y de los objetos en el espacio. La nocion misma de
espacio se precisa a través de un conjun- to de postulados o axiomas que definen
el escenario abstracto donde habitaran losiobjetos; éstos, a su vez, estan
caracterizados por relaciones entre sus constituyentes basicos (eg, ciertos
puntos o lineas en el objeto). La diferencia es que, al evolucionar, la
geometrfa amplié su campo de estudio y fue, del escenario inmediato
proporcionado por la tierra y por las figuras trazadas sobre su superficie a
escenarios mucho mas generales, donde nuestros sentidos han de emplearse de
manera relativamente indirecta para darnos intuición.
El término geometria diferencial se refiere al estudio de la
geometria empleando como herramienta los métodos del cálculo diferencial (eg,
tomando limites y derivadas). Las bases de la geometría diferencial pueden
situarse en la segunda mitad del siglo XVII y atribuirse a Isaac Newton como
inventor-descubridor del calculo diferencial en su búsqueda por entender y
caracterizar el movimiento de los objetos en el espacio (como por ejemplo, el
movimiento de los planetas). Sin embar-go, no fue sino hasta principios del
siglo XIX que, con los trabajos de Carl Friedrich Gauss, la geometria
diferencial tomara un rumbo propio dentro de la matemática (ie, un rumbo
independiente de la física), al enfatizar y evidenciar el caracter intrinseco
de algunas propiedades de los objetos en el espacio. Por ejemplo, la nocion de
curvatura que hoy empleamos para curvas y superficies se debe a Gauss y lo
intrinseco del concepto radica en el hecho de que — hablando en general, y de
manera simplificada — si uno conoce la curvatura de un objeto, uno conoce el
objeto.
Por otra parte, Gauss, Nikolai Lobachevsky y Janos Bolyai,
de manera casi simultanea pero independiente, concibieron y desarrollaron una
forma espacial en la que uno de los postulados de Euclides se remplazaba por
otro diferente: en lugar de que por un punto fuera de una recta dada, solo
pasara una unica recta paralela a ésta, ellos permitieron_ la posibilidad de
que pasara mas de una. El resultado es una geometria distinta a la proporcionada
por la del espacio fsico de nuestros sentidos, pero tan consistente y sélida
como la de Euclides desde el punto de vista de sus resultados y teoremas. Un
poco después, hacia la segunda mitad del siglo XIX, Bernhard Riemann, el
talentoso estudiante de Gauss, desarrollo una geometria alternativa en la que
por un punto fuera de una recta dada, no es posible trazar paralela alguna a
dicha recta.
Desde e1 punto de vista de la matematica moderna, son los traba
jos de Gauss y Riemann los que fundamentan la geometría diferencial actual.
Riemann generalizó las ideas de Gauss y escribio dos trabajos célebres que
contribuyeron enormemente al desarrollo futuro de la topologia y la geometria: (1)
su disertacién doctoral, sobre las bases para una teorz’a general de funciones
de variable compleja (1851), donde aparecen por primera vez las ideas que condujeron
a la noción que hoy tenemos de superficie de Riemann y, (2) su disertación para
ser admitido como docente privado (y poder recibir pagos directamente por
concepto de cuotas estudiantiles), sobre las hipotesis que forman los fundamentos
de la geometria (1854), en la que aparecen, entre otros conceptos, las ideas de
lo que hoy llamamos variedades diferenciables e invariancia ante difeomorfismos,
ademas de discutir con toda claridad algunas ideas que dieron paso a grandes
aplicaciones de la geometria a la fisica matematica en manos de Einstein y
Poincaré. Una traducción al inglés de esta segunda disertación de Riemann se
puede encontrar en el segundo volumen de la monumental obra de Michael Spivak.
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