INTEGRACIÓN MÚLTIPLE (ITERADAS)
- Los límites interiores de integración pueden ser variables respecto a la variable exterior de integración, pero los límites exteriores de integración han de ser constantes con respecto a las dos variables de integración.
- Una vez realizada la primera integración, se llega a una integral definida ordinaria y al integrar por segunda vez se obtiene un número real.
- Los límites de integración determinan la región de integración.
CONCEPTO DE INTEGRAL DOBLE
- Consideramos una función continua f tal que
f(x, y) ≥ 0 ∀(x, y) ∈ dom(f)
- Deseamos hallar el volumen de la región sólida comprendida entre la superficie z = f(x, y) y el plano XY. Suponemos que la función f está definida sobre un rectángulo cerrado R = [a, b] × [c, d] = {(x, y) ∈ R°2 /a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
- Tomamos una partición P de R en subrectángulos que obtenemos realizando el producto cartesiano de una partición de [a, b] por una de [c, d]:
a = x0 < x1 < · · · < xi−1 < xi < · · · < xm = b
c = y0 < y1 < · · · < yj−1 < yj < · · · < yn = d
En principio, el cálculo de una integral múltiple (en varias variables) se reduce a ir
calculando integrales de una variable en el orden especificado. El diferencial nos informa
acerca del nombre de la variable con respecto a la que debemos integrar y su posición indica
el orden de integración, correspondiendo los diferenciales más interiores a las integrales que
hay que calcular primero.
Ejemplo. ∫ 1
0
∫ 3
2
(6x+6y
2
) dxdy =
∫ 1
0
(
3x
2+6y
2x
)
3
x=2dy. Como la variable de integración
es x, la y se trata como una constante. Sustituyendo los límites, queda
∫ 1
0
(
15 + 6y
2
)
dy =
(
15y + 2y
3
)
1
0
= 15 + 2 = 17.
Para practicar, calculemos también ∫ 3
2
∫ 1
0
(6x + 6y
2
) dydx, es decir, la integral pero intercambiando el orden de integración. El resultado es
∫ 3
2
(
6xy + 2y
3
)
1
y=0dx =
∫ 3
2
(6x + 2) dx =
(
3x
2 + 2x
)
3
x=2 = 15 + 2 = 17.
No es casualidad que en el ejemplo anterior los resultados de los dos apartados coincidan.
Hay un teorema llamado teorema de Fubini que asegura que el orden es irrelevante.
La mayor parte de las integrales múltiples que aparecen en las aplicaciones son integrales
dobles o integrales triples, esto es, con 2 o 3 variables. En cuanto a la integración iterada,
el número de variables es irrelevante.
Ejemplo. Para calcular ∫ π
0
∫ π
0
∫ 1
0
x cos(y+z) dxdydz, se realizan integrales iteradas como
antes:
∫ π
0
∫ π
0
1
2
x
2
cos(y + z)
1
x=0dydz =
∫ π
0
∫ π
0
1
2
cos(y + z) dydz =
∫ π
0
1
2
sen(y + z)
π
y=0 dz.
Usando que sen(α + π) = − sen α se tiene sen(y + z)
π
y=0 = −2 sen z. Entonces el resultado
es
−
∫ π
0
sen z dz = cos z
π
z=0 = −2.
También se pueden poner variables en los límites de integración.
No hay comentarios.:
Publicar un comentario