SIGLO XVIII - EL CALCULO (INFINITESIMAL)

SIGLO XVIII - EL CALCULO

Durante buena parte del siglo los discípulos de Newton y Leibniz se basaron en sus trabajos para resolver diversos problemas de física, astronomía e ingeniería, lo que les permitió, al mismo tiempo, crear campos nuevos dentro de las matemáticas. Así, los hermanos Bernoulli inventaron el cálculo de variaciones y el matemático francés Monge la geometría descriptiva. Lagrange, también francés, dio un tratamiento completamente analítico de la mecánica, realizó contribuciones al estudio de las ecuaciones diferenciales y la teoría de números, y desarrolló la teoría de grupos. Su contemporáneo Laplace escribió Teoría analítica de las probabilidades (1812) y el clásico Mecánica celeste (1799-1825), que le valió el sobrenombre de "el Newton francés".

Sin embargo el gran matemático del siglo fue el suizo Euler, quien aportó ideas fundamentales sobre el cálculo y otras ramas de las matemáticas y sus aplicaciones. Euler escribió textos sobre cálculo, mecánica y álgebra que se convirtieron en modelos a seguir para otros autores interesados en estas disciplinas. El éxito de Euler y de otros matemáticos para resolver problemas tanto matemáticos como físicos utilizando el cálculo sólo sirvió para acentuar la falta de un desarrollo adecuado y justificado de las ideas básicas del cálculo. La teoría de Newton se basó en la cinemática y las velocidades, la de Leibniz en los infinitésimos, y el tratamiento de Lagrange era completamente algebraico y basado en el concepto de las series infinitas. Todos estos sistemas eran inadecuados en comparación con el modelo lógico de la geometría griega, y este problema no fue resuelto hasta el siglo posterior.

A los matemáticos de fines del siglo el horizonte matemático les parecía obstruido. Se había llegado al estudio de cuestiones muy complicadas a las que nos se les conocía o veía un alcance claro. Los sabios sentían la necesidad de estudiar conceptos nuevos y hallar nuevos procedimientos.

En la parte central del siglo XVII, las cantidades infinitesimales, los fantasmas de cantidades desaparecidas, como alguien las llamó en el siglo XVIII, fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes áreas, volúmenes, etc.; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral. Como hemos mencionado Saint Vincent, Pascal, Wallis, ... siguieron los pasos de Kepler y Cavalieri; además de los infinitésimos cada vez usaban más fórmulas y menos dibujos: la geometría analítica cumplía su función de puente entre la geometría y el análisis. Si Isaac Barrow, el maestro de Newton en Cambridge la hubiera estudiado bien, podría haber arrebatado a su discípulo el descubrimiento del cálculo. En efecto, como ya comentamos, la geometría analítica amplió considerablemente el horizonte de las curvas geométricas. Un ejemplo de tales fue el logaritmo. Surgidos de la necesidad de ahorrar tiempo y evitar errores en los engorrosos cálculos usados por los astrónomos -tenían que realizar una ingente cantidad de multiplicaciones, divisiones y extracciones de raíces- fueron descubiertos independientes por Napier y Bürgi
terminaron convirtiéndose en una curva a la que se podía calcular su área -lo hizo Saint-Clement- y su tangente, etc. Mostramos a la derecha un ejemplar de la segunda edición de la obra de Napier Logaritmorum canonis descriptio ... de 1619 que incluía una explicación detallada de como se ha de elaborar una tabla de logaritmos no incluida en a primera edición de 1614. Este incremento de nuevas curvas hizo imprescindible el desarrollar nuevos métodos para calcular tangentes.  Uno de ellos fue el método de adigualdades de Pierre Fermat que servía además para calcular máximos y mínimos. Esto unido a sus trabajos sobre cuadraturas le hacen merecedor de un puesto de honor como precursor del cálculo. Newton en una carta descubierta en 1934 escribió en relación con sus ideas para el desarrollo del cálculo: «La indicación me la dio el método de Fermat para las tangentes. Aplicándolo a las ecuaciones abstractas directas e inversamente, yo lo hice general». Sin duda Fermat fue uno de los mejores matemáticos del siglo XVII y el mejor matemático aficionado de la historia -y no precisamente por su "larga" demostración que no entraba en el estrecho margen de la obra de Diofanto y que le ha hecho famoso fuera del círculo estrictamente matemático- por sus contribuciones importantes en casi todas las ramas de las matemáticas que emergieron en ese siglo. Mostramos aquí una foto de la portada de su Varia opera mathematica publicada póstumamente por su hijo en 1679.

Relacionado con los problemas de tangentes surgió a mediados del XVII el llamado problema inverso de tangentes, es decir, deducir una curva a partir de las propiedades de sus tangentes. El primero en plantear un problema de este tipo fue Florimond de Beaune, discípulo de Descartes, quien planteó, entre otros, el problema de encontrar la curva consubtangente constante. El propio Descartes lo intentó sin éxito siendo Leibnitz el primero en resolverlo en la la primera publicación de la historia sobre el cálculo infinitesimal. De hecho un elemento esencial para el descubrimiento del cálculo era el reconocimiento de que el problema de las tangentes y las cuadraturas eran problemas inversos, de hecho es por eso que la relación inversa entre la derivación y la integración es lo que hoy, con toda justicia y razón, llamamos Teorema fundamental del cálculo.

REPRESENTANTES DEL CALCULO EN EL SIGLO XVIII

LEONARD EULER (1707-1783)

THOMAS SIMPSON (1710-1761): sus principales trabajos se refieren a interpolación y métodos numéricos de integración.

ALEXIS CLAUDE CLAIRAUT (1713-1765)

MARIA GAËTANA AGNESI (1718-1799)

JOSEPH LOUIS LAGRANGE (1736-1813)

MARQUÉS DE CONDORCET (1743-1794)

GASPARD MONGE (1746-1818)

PIERRE SIMON DE LAPLACE (1749-1827)

ADRIEN LEGENDRE (1752-1833)

LAZARE CARNOT (1753-1823)

CARL FRIEDRICH GAUSS (1777-1813)

BERNARD BOLZANO (1781-1848)

AGUSTIN-LOUIS CAUCHY (1789-1857): trabajó en la tarea de dar una definición precisa de "función continua".

GEORGE GREEN (1793-1841)