ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES

ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES

Definición 4.1 Se llama ecuación diferencial en derivadas parciales o abreviadamente ecuación en derivadas parciales (EDP) a una ecuación de la forma

donde F : Ω ⊆ R −→ R, siendo P ∈ N, n > 1, (X1....Xn) ∈ Ω,  son las variables independientes y u ≡ u (X1...Xn) es la variable dependiente y siendo K1 + ··· + Kn = m.
La EDP estará definida y planteada en la región abierta (finita o infinita) Ω ⊆ Rn.

Definición 4.2 El orden de la EDP está indicado por la derivada de mayor orden dentro de la ecuación.

Observación 4.1 Las derivadas parciales pueden expresarse como

Ejemplo 4.1 En la siguiente tabla se presentan algunas EDP junto con su correspondiente orden:

Las EDP se utilizan, por ejemplo, para modelar procesos que además de tener una variación temporal, tienen una variación espacial tales como la variación del calor con el tiempo en un sólido, la distribución de poblaciones en un determinado habitat con el tiempo o la propagación del sonido de las cuerdas de una guitarra.

En general las EDP son bastante difíciles de resolver de forma analítica, de hecho, no existen teoremas de existencia y unicidad tan “sencillos” como los estudiados en los problemas de valor inicial asociados a las EDO, nosotros trataremos de resolver las EDP correspondientes a los problemas clásicos.